Ở cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông, bài tập liên quan đến tham số m có lẽ không còn xa lạ với các bạn học sinh. Ngày hôm nay chúng tôi sẽ giới thiệu các bạn phương pháp giải của một dạng toán phổ biến và thường gặp trong các đề thi đó là tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và các bài tập áp dụng.
Mục Lục
Phương pháp giải bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Đối với dạng toán này chúng ta sẽ sử dụng định lý Viet để giải quyết được thuận lợi và nhanh chóng nhất. Vậy trước tiên chúng ta cùng tìm hiểu qua định lý Viet.
Định lý Viet
Định lý Viet là một trong những định lý có vai trò quan trọng và được áp dụng để giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc 2 rất phổ biến.
Vì thế chúng ta sẽ áp dụng vào bài toán trên như sau.
Phương pháp giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu
Đầu tiên để phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm thì ∆ > 0.
Tiếp đến để có hai nghiệm trái dấu tức là tích của chúng sẽ nhỏ hơn 0. Lúc này chúng ta sẽ áp dụng định lý Viet. Từ đó xác định a.c < 0.
Tổng quát phương pháp bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu: Điều kiện cần và đủ là ∆ > 0 và a.c <0.
Tuy nhiên khi tích a.c <0 thì ∆ chắc chắn sẽ lớn hơn 0 do đó chung quy lại chúng ta chỉ cần tích a.c < 0 là đủ.
Khi đã nắm được phương pháp sau đây sẽ là một số bài tập áp dụng trực tiếp.
Các bài tập áp dụng
Bài tập 1
Tìm m để phương trình sau x2 – (m + 5)x + m2 – 5m + 6 =0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài giải
Trước tiên chúng ta cần xác định hệ số trong phương trình. Dễ dàng nhận ra a = 1 và c = m2 – 5m + 6.
Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì khi và chỉ khi a.c < 0. Từ đó suy ra:
<=> m2 – 5m + 6 < 0
<=> (m – 2).(m – 3) < 0
<=> 2 < m < 3
Vậy đáp án chính là với 2 < m < 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
Bài tập 2
Tìm m để phương trình 3x2 + 7x – m2 + 4m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài giải.
Trước tiên chúng ta cần xác định các hệ số trong đề bài. Dễ dàng nhận thấy a = 3 và c = -m2 + 4m – 3.
Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì khi và chỉ khi a.c < 0.
<=> 3.(-m2 + 4m – 3) < 0
<=> m2 – 4m + 3 > 0
<=> (m – 1).( m – 3) > 0
<=> m < 1 hoặc m > 3.
Vậy để phương trình 3x2 + 7x – m2 + 4m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu thì m < 1 hoặc m > 3.
Bài tập 3
Tìm m để phương trình -4x2 – 13x + m2 – 7m + 6 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài giải
Cũng giống như 2 bài toán trước thì chúng ta bước 1 cần phải xác định rõ các hệ số trong đề bài. Bằng một bước đơn giản thì chúng ta đã tìm ra a = -4 và c = m2 – 7m +6.
Từ đó dễ dàng tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu như sau.
<=> -4.(m2 – 7m +6) < 0
<=> m2 – 7m + 6 >0
<=> (m -1).(m – 6) > 0
<=> m < 1 hoặc m > 6.
Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì m < 1 hoặc m > 6.
Bài tập 4
Tìm m để phương trình (m -1)x2 – 5x + m – 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài giải
Khác với 3 bài toán trên thì tham số m không chỉ nằm ở hệ số c mà tham số m còn nằm ở tham số a. Tuy nhiên cách giải vẫn không có gì thay đổi.
<=> (m – 1).(m – 5) < 0
<=> 1 < m < 5.
Với đáp án là 1 < m < 5 thì nghiễm nhiên mà m – 1 # 0 do đó bạn không phải lo về điều kiện a # 0.
Vậy đáp án của bài toán trên đó là 1 < m < 5.
Bài tập 5
Tìm m để phương trình (m – 6)x2 – 10x – m + 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài giải
Dễ dàng nhận ra được a = m – 6 và c = -m + 2.
Để có hai nghiệm trái dấu thì:
<=> (m – 6).(-m + 2) < 0
<=> (m – 6).(m – 2) > 0
<=> m < 2 hoặc m > 6.
Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì m < 2 hoặc m > 6.
Khi các bạn đã quen thì sau đây sẽ là một số bài tập tự luyện cho bạn nâng cao trình độ.
Các bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để phương trình x2 – 6x + m – 7 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài 2: Tìm m để phương trình x2 – (m + 5)x – m + 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Bài 3: Tìm m để phương trình (m – 9)x2 + (m + 2)x – m + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Trên đây chúng tôi đã giới thiệu cho bạn phương pháp giải bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và một số bài tập tự luyện. Mong các thông tin trên sẽ có ích cho bạn trong thời gian tới.
